О СРАВНЕНИИ ВОЗРАСТНЫХ СТРУКТУР РЕАЛЬНЫХ НАСЕЛЕНИЙ*

(*-Автор выражает благодарность академику А. А. Петрову, а также участникам научного семинара в ВЦ РАН за поддержку и ценные советы подготовке настоящей работы. )

Введение

Возрастная структура реального населения может быть довольно сложной, отражая в себе историю воспроизводства населения. К числу наиболее известных особенностей возрастной структуры, связанных с событиями прошлого, относится так называемое демографическое эхо войны, которое проявляется в том, что поколение людей военных лет рождения и поколения их детей, внуков и т. д. имеют относительно малую численность, чему соответствуют провалы в возрастной структуре населения. Аналогично, всякие изменения в рождаемости и смертности также влияют на формирование возрастной структуры (см. , например, рис. 1).

Указанная особенность возрастной структуры приводит к тому, что даже населения с близкими режимами воспроизводства могут иметь различную структуру. В то же время известно, что со временем влияние на возрастную структуру тех или иных событий ослабляется (свойство эргодичности). В частности, если с некоторого момента времени возрастные показатели рождаемости и смертности неизменны, то возрастная структура населения постепенно стабилизируется, влияние на нее исходной возрастной структуры сходит на нет, и асимптотически она определяется только режимом рождаемости и смертности (так называемое свойство сильной эргодичности). Население, обладающее указанной предельной возрастной структурой, определяющейся только постоянным режимом воспроизводства, получило название стабильного населения.

Таким образом, при постоянстве режима воспроизводства населения его возрастная структура со временем стремится к возрастной структуре некоторого стабильного населения. В этой связи исследователи уделяли большое внимание сравнению возрастных структур реального населения и соответствующего ему стабильного населения, разработке специальных показателей стабилизации возрастной структуры. В отечественной литературе ряд таких показателей был предложен С. Пирожковым, который выдвинул задачу разработки обоснованных показателей инстабильности [1, 2].

Независимо от этого, на основе информационного расстояния Куллбака-Лейблера, американский исследователь Ш. Тулджапуркар предложил меру сходимости структуры населения к структуре стабильного населения, монотонно убывающую до нуля по мере стабилизации возрастной структуры [3]. Позже куллбаковское расстояние было исследовано Р. Шоеном и Я. Кимом [4], которые высказали предположение об уникальности этого показателя как нетривиальной, монотонно убывающей меры сходимости к стабильному населению.

Независимо от американских исследователей, А. Рубинов и Н. Чистякова, модифицировав показатель инстабильности Пирожкова, разработали показатель, также монотонно убывающий до нуля по мере стабилизации, структуры населения, отметив монотонность как его отличительную черту [5].

Недавними исследованиями автора [6, 7] удалось установить, что монотонно убывающие со временем показатели инстабильности, предложенные как в американской, так и в отечественной литературе, на самом деле являются элементами сравнительно широкого класса показателей, тесно связанных с понятием демографического потенциала [6]. Более того, в указанном классе удалось впервые выделить монотонные меры близости возрастных структур двух реальных населений, как с постоянным, так и с переменным режимами воспроизводства. Разработанные показатели оказались полезным инструментом в прикладных демографических исследованиях [6-8}.

Настоящая работа посвящена обзору полученных в этом направлении результатов и их практических приложений.

Сначала мы рассмотрим показатели инстабильности возрастной структуры реального населения, то есть показатели отличия возрастной структуры населения от структуры стабильного населения, соответствующего его режиму воспроизводства. Далее будут рассмотрены показатели различия возрастной структуры двух реальных населений в условиях постоянного и переменного режимов воспроизводства. Среди множества подобных показателей будут выделены наиболее простые и удобные для практических расчетов. Возможности применения предлагаемых показателей будут проиллюстрированы на примере анализа динамики возрастной структуры населения России, различий режимов воспроизводства населения России и США, расово-этнических особенностей воспроизводства населения США, а также на примере реконструкции режима воспроизводства населения некоторых народов России.

1. Монотонные показатели инстабильности возрастной структуры реального населения

Показатель инстабильности демонстрирует, насколько возрастная структура некоторого населения отличается от структуры теоретического стабильного населения, соответствующего его режиму воспроизводства. Подобные показатели полезны для исследования процесса стабилизации возрастной структуры населения, то есть процесса, в ходе которого сглаживаются особенности возрастной структуры, связанные с отклонениями режима воспроизводства населения от модельного. Такие отклонения могут быть вызваны войнами, эпидемиями и другими катаклизмами, а также временным изменением уровней рождаемости и смертности по другим причинам.

Соответственно, изучение динамики некоторого показателя инстабильности позволяет количественно оценивать. насколько ослабло влияние на возрастную структуру событий прошлых лет, приведших к временному изменению воспроизводства населения.

Еще один характерный пример, когда полезно изучение динамики показателей инстабильности, относится к анализу перехода населения от одного режима воспроизводства к другому. Каждому режиму воспроизводства соответствует своя возрастная структура стабильного населения. Поэтому, когда население переходит от одного режима воспроизводства к другому, вообще говоря, его возрастная структура меняется даже в отсутствие каких-либо катаклизмов. В этом случае процесс смены возрастной структуры населения также можно прослеживать по динамике показателя инстабильности, отражающего, насколько текущая возрастная структура отличается от конечной (или начальной) структуры.

В свете тех практических задач, для решения которых необходимо привлечение показателей инстабильности, важнейшим их свойством представляется монотонность. Под монотонностью показателя подразумевается то, что он должен меняться в одном направлении (убывать) все время, пока население проходит процесс стабилизации его возрастной структуры. Изменения в обратном направлении могут свидетельствовать лишь о том, что процесс стабилизации возрастной структуры населения по каким-либо причинам прервался (скажем, из-за новых катаклизмов или непредвиденных изменений режима воспроизводства).

Впервые монотонный показатель инстабильности был предложен в работах Ш. Тулджапуркара, Р. Шоена и Я. Кима [3, 4]. Предложенный ими показатель восходит к понятию энтропии, известному в термодинамике, и куллбаковскому расстоянию, известному в теории информации. Расчет этого показателя можно проводить по следующим формулам:

[формула: (1-2)

Материал доступен в бумажной версии издания]

[Далее идет текст, не поддающийся сканированию.

Материал доступен в бумажной версии издания. ]

Возрастные коэффициенты репродуктивного потенциала Фишера могут быть получены по формулам [6]:

[формула: (3)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Типичные значения демографических потенциалов (2) и возрастных коэффициентов репродуктивного потенциала Фишера (3), используемых в качестве весовых коэффициентов в куллбаковском расстоянии ( 1 ) и других мерах инстабильности, приведены в таблицах 1 и 2. Эти значения рассчитаны с использованием моделей смертности и рождаемости У. Брасса [9] при ожидаемой продолжительности жизни при рождении 65 лет и нулевом истинном коэффициенте естественного прироста (структурный параметр b положен равным 0, 9 и 1. 0 соответственно для моделей смертности и рождаемости).

Наконец, численность стабильного населения в отдельных возрастных группах выражается следующим соотношением:

[формула: (4)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Недостатком куллбаковского расстояния (1) является его чувствительность к значениям весовых коэффициентов м Даже при относительно небольших отклонениях от значении, получаемых по формуле (2), динамика куллбаковского расстояния перестает быть монотонной и, более того. величина этого расстояния может оказаться меньше нуля.

Это связано с тем, что в сумме (1) используются логарифмы отношения численностей реального и стабильного населений, которые могут быть как положительными. так и отрицательными числами. Отмеченное обстоятельство оказывается серьезным препятствием к использованию показателя (1), поскольку на практике удобно, а зачастую и необходимо, проводить расчет не по точным значениям демографических потенциалов, получаемым по формуле (2), а по неким стандартным значениям, используемым при расчетах по нескольким населениям с различными режимами воспроизводства. В этом смысле более устойчивыми к вариациям весовых коэффициентов оказываются значения показателя инстабильности Пирожкова-Рубинова-Чистяковой [ 2, 5], которые могут быть рассчитаны по формуле:

[формула: (5)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Показатель (5) очень полезен в практических исследованиях. но его недостаток в том, что в качестве весовых коэффициентов при суммировании используются возрастные коэффициенты репродуктивного потенциала Фишера v(x) , которые заметно меняются при переходе от одного режима воспроизводства к другому. Иными словами, при анализе процесса стабилизации возрастной структуры нескольких населений со значительно отличающимися режимами воспроизводства или при анализе стабилизации возрастной структуры населения, режим воспроизводства которого сильно изменяется, приходится пользоваться разными наборами весовых коэффициентов v(x).

В связи с этим лучше пользоваться мерами инстабильности. в которых в качестве весовых коэффициентов выступают ожидаемые потенциалы и , меньше зависящие от особенностей режима воспроизводства населения. Примером такой меры является куллбаковское расстояние, которое, однако, как было отмечено, неустойчиво к изменениям весовых коэффициентов. Между тем, и показатель инстабильности Пирожкова-Рубинова-Чистяковой, и куллбаковское расстояние представляют собой частные случаи целого класса монотонных мер инстабильности, в котором можно выделить и другие показатели [6, 7]. А именно, можно доказать, что всякая мера инстабильности следующего вида будет монотонно убывать до нуля по мере стабилизации возрастной структуры населения:

[формула: (6)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Заметим, что меры инстабильности вида (6) остаются монотонно убывающими со временем, даже если в расчетах вместо структуры стабильного населения, эквивалентного исследуемому населению, используется структура любого другого стабильного населения с тем же коэффициентом Лотки и показателями смертности.

[Далее идет текст, не поддающийся сканированию.

Материал доступен в бумажной версии издания. ]

[формула: (7)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Динамика этого показателя оказывается сходной с динамикой куллбаковского расстояния, но при этом показатель (7) не столь чувствителен к искажениям весовых коэффициентов и(x) , как куллбаковское расстояние. Поэтому при практических расчетах предпочтительнее пользоваться показателем (7). Корень квадратный из (7) также будет монотонно убывающей мерой инстабильности -среднеквадратическим расстоянием, линейно отражающим отклонения численности реального населения в отдельных возрастах от соответствующих численностей в стабильном населении:

[формула: (8)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Этот показатель по своим свойствам ближе к показателю Пирожкова-Рубинова-Чистяковой.

Можно показать, что меры (6) могут быть сведены к виду, иногда более удобному для практических расчетов:

[формула: (9)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Причем если вместо единицы в качестве второго аргумента функции уклонений использовать любое другое число, монотонность показателя сохранится, но он будет сокращаться не до нуля, а до некоторого положительного значения. При использовании точных значений коэффициентов, фигурирующих в формулах, показатели (9) эквивалентны показателям (6). Однако если в расчетах вместо точных используются приближенные значения коэффициентов (например, некие стандартные коэффициенты для всех населений), то отмеченная эквивалентность показателей (6) и (9) теряется. Причем последние оказываются более устойчивыми к переходу к стандартным коэффициентам, поскольку сами весовые множители и(x) , используемые в (9), мало меняются при переходе от одного режима воспроизводства к другому. По этой причине показатели (9) полезны в ситуации, когда анализируется стабилизация возрастной структуры нескольких населений с заметно отличающимися режимами воспроизводства, а также когда анализируется динамика возрастной структуры населения в период, когда его режим воспроизводства претерпевает значительные изменения. В этом случае можно использовать одни и те же значения весовых коэффициентов и , что значительно упрощает расчеты. Одним из удобных показателей вида (9) является следующий:

[формула: (10)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Теоретически этот показатель эквивалентен показателю инстабильности Пирожкова-Рубинова-Чистяковой, но на практике может серьезно отличаться от него при использовании стандартных весовых коэффициентов (скажем, из таблиц 1 и 2).

Аналогично (10), можно выписать и другие показатели в форме (9), которые при точных расчетах эквивалентны некоторым мерам из (6), но на практике могут серьезно отличаться от них при использовании стандартных наборов весовых коэффициентов.

Можно отметить также следующие монотонные показатели инстабильности, не включающие в явном виде структуру стабильного населения, которые получаются из (6), если опустить структуру стабильного населения [6, 7]:

[формула: (11-12)

Материал доступен в бумажной версии издания]

В отличие от показателей (6), величины типа (II) убывают не до нуля, а до положительного значения

[формула]

соответствующего возрастной структуре стабильного населения (4). Всякому показателю инстабильности (II) соответствует показатель инстабильности из класса (6), который монотонно убывает до нуля:

[формула: (13)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Можно показать, что при некоторых приемлемых на практике ограничениях не существует никаких монотонно убывающих со временем мер инстабильности возрастной структуры, не зависящих явно от структуры стабильного населения и выходящих за рамки класса (11) [10, 11].

Обратимся к практическим приложениям показателей инстабильности. Изучение динамики показателя инстабильности позволяет решить следующие три задачи.

1. Выяснить степень инстабильности возрастной структуры населения и перспективы ее изменения. Если показатель инстабильности типа (6) равен нулю, то возрастная структура населения согласуется с режимом его воспроизводства, и последствия прошлых катаклизмов и других отклонений от "нормального" режима воспроизводства уже не будут оказывать влияния на динамику чисел рождений в будущем. Однако на практике редко можно встретить население с нулевым показателем инстабильности, поскольку даже при отсутствии катаклизмов, вызванных войнами, голодом, экономическими кризисами, показатели воспроизводства населения претерпевают изменения - как устойчивые, долгосрочные, так и случайные, кратковременные. В результате возрастная структура реального населения практически всегда несет на себе следы таких изменений и не соответствует в точности никакому постоянному режиму воспроизводства. Поэтому возрастную структуру населения можно считать практически стабилизировавшейся, если ее показатель инстабильности достаточно мал.

Этот вопрос заслуживает отдельного исследования, но, судя по опыту автора, достаточно малыми можно считать показатели инстабильности, соответствующие менее чем пятипроцентному в среднем отклонению численности населения в отдельной возрастной группе от соответствующей численности в стабильном населении. Для показателей (5), (8) и (10) это соответствует значениям менее 0, 05. Например, в 2000 г.показатель инстабильности (10) возрастной структуры населения РФ [12] составил 0, 14 для мужского и 0, 15 для женского населений соответственно. Это свидетельствует о том, что возрастная структура населения России в 2000 г. в значительной мере испытывала влияние изменения режима воспроизводства до этого времени, и далее она будет существенно влиять на динамику чисел рождений.

2. Проверять гипотезу о постоянстве режима воспроизводства населения. Если режим воспроизводства постоянен, то всякий показатель типа (6), (9) или ( 11 ) будет со временем монотонно сокращаться. Если же на самом деле эти показатели со временем увеличиваются, то это свидетельствует об отличии режима воспроизводства населения от предполагаемого.

В качестве примера рассмотрим динамику показателя инстабильности (10) для населения России [12-15], рассчитанного с использованием стандартных значений демографических потенциалов (таблица 2) и с показателями смертности стабильного населения, равными реальным значениям за 1988 г. , при нулевом истинном коэффициенте естественного прироста.

В 1988 г. этот показатель для женского населения составил 0, 09, а к 2000 г. вырос до 0, 19. что свидетельствует о том, что в указанный период произошли серьезные изменения режима воспроизводства. Результаты расчетов показателя для периода 1897-2050 гг. приведены на рис. 2 и 3.

Из приведенных графиков видно, что гипотеза о том, что весь анализируемый период показатели воспроизводства населения России оставались на уровне простого воспроизводства с режимом смертности, соответствующим данным за 1988 г. , не согласуется с динамикой показателя инстабильности и должна быть отвергнута.

Только в послевоенный период до начала 1990-х годов устойчивое убывание показателя инстабильности указывает на то, что режим воспроизводства мог быть близок к заложенному в проверяемой гипотезе. То, что к началу 1990-х годов показатель инстабильности сократился почти до 0, 05, а затем резко увеличился, связано в первую очередь с резким изменением режима воспроизводства (в частности, с сокращением показателей рождаемости).

Согласно долгосрочному прогнозу, показатель инстабильности к 2050 г. останется на высоком уровне (притом, что в прогнозах по методу передвижки случайные изменения чисел рождений не учитываются), а это говорит о том, что согласно прогнозу, режим воспроизводства населения России и в будущем будет заметно отличаться от режима простого воспроизводства. Заметим, что отличие динамики показателя инстабильности мужского населения (рис. 3) от динамики показателя женского населения (рис. 2) в первые послевоенные десятилетия связано с тем, что в военные годы структура мужского населения оказалась искажена сильнее, чем женского,

3. Исследовать процесс стабилизации возрастной структуры населения в условиях переменного режима воспроизводства. Если режим воспроизводства населения непостоянен, то приведенные выше показатели будут, вообще говоря, немонотонными. В этом случае можно построить другие показатели динамики возрастной структуры, которые будут рассмотрены ниже. Однако даже с использованием простых показателей инстабильности. приведенных выше, можно исследовать процесс стабилизации возрастной структуры в условиях переменного режима воспроизводства. Для этого надо в каждый момент времени рассчитывать показатель инстабильности возрастной структуры населения относительно возрастной структуры такого стабильного населения, которое соответствует режиму воспроизводства населения в тот же самый момент времени (будем называть такое население стабильным эквивалентным населением).

При этом динамика показателя инстабильности будет определяться двумя составляющими. С одной стороны, сильные искажения возрастной структуры, связанные с событиями прошлых лет, будут постепенно сглаживаться, приводя к уменьшению показателей инстабильности. С другой - изменения режима воспроизводства могут приводить к новым искажениям возрастной структуры, смене структуры стабильного эквивалентного населения и, соответственно, к росту показателей инстабильности. В качестве примера рассмотрим динамику показателя инстабильности (10) для женского и мужского населений России, отображенную на рис. 4 и 5.

Видно, что, во-первых, возрастная структура населения России согласовалась с соответствующим режимом воспроизводства только в самом начале анализируемого периода (1897 г. ). После этого изменения режима воспроизводства, войны и голод приводили к росту показателей инстабильности, за исключением послевоенного советского периода, когда происходила стабилизация возрастной структуры в условиях отсутствия резких изменений в режиме воспроизводства. Аналогичная ситуация ожидается - по прогнозу Бюро Цензов США - и в первой половине XXI века, после 2015 г. , когда показатели воспроизводства окажутся также относительно постоянными. При этом к середине XXI века возрастная структура населения России уже придет в согласие с прогнозируемым режимом воспроизводства, то есть в рамках прогноза к середине века завершится в целом переход к новому типу воспроизводства населения. Поскольку речь идет о переходе к суженному режиму воспроизводства, меры демографической политики после 2050 г. будут наталкиваться на предрасположенность возрастной структуры населения к сокращению его численности. Этот вывод, полученный нами косвенным образом, подтверждается непосредственным анализом перспектив воспроизводства населения России во второй половине XXI века [16]. Сходный анализ, но с помощью более простых расчетов, можно провести и с использованием показателей (11)-(13).

2. Показатели различий в возрастной структуре реальных населений

2. 1. Постоянный режим воспроизводства населения. Динамика приведенных выше показателей инстабильности в значительной степени зависит от особенностей возрастной структуры того населения, структура которого анализируется исследователем [4, 7]. В зависимости от конкретной возрастной структуры населения показатель инстабильности, который представляет собой расстояние между структурой реального и структурой стабильного эквивалентного населения, может сокращаться быстро или медленно, с постоянным темпом или прерывисто.

Это наводит на предположение о невозможности построить такие меры различий возрастных структур двух реальных населений, которые бы монотонно сокращались со временем при одинаковом режиме воспроизводства обоих населений. Тем не менее оказывается, что такие меры построить можно. Причем они так же тесно связаны с классом показателей (6). А именно, можно показать, что следующие меры различий возрастной структуры двух реальных населений монотонно убывают со временем, если оба населения имеют одни и те же, не меняющиеся со временем, показатели воспроизводства [6, 7]:

[формула: (14)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Можно также показать, что величины (14) представимы в виде:

[формула: (15)

Материал доступен в бумажной версии издания]

где, как и выше, звездочкой помечены показатели стабильного населения, обладающего тем же, что и исследуемые населения, режимом воспроизводства.

Среди мер типа (14), удобных для практических расчетов, можно отметить следующие:

[формула: (16)

Материал доступен в бумажной версии издания]

эта мера аналогична показателю Пирожкова-Рубинова-Чистяковой. В форме (15) это расстояние имеет вид:

[формула: (17)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Теоретически это расстояние эквивалентно (16), но при использовании стандартных коэффициентов демографических потенциалов они перестают быть эквивалентными.

В отличие от куллбаковского расстояния, аналог которого для двух реальных населений не принадлежит к классу (14), квадратичная мера (7) имеет свой аналог из (14):

[формула: (18)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Этому показателю соответствует среднеквадратичное расстояние:

[формула: (19)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Как и расстояния (16), (17) и следующий далее показатель (20), величина (19) линейно отражает различия в возрастной структуре двух реальных населений, то есть его сокращение в некоторое число раз свидетельствует о том, что различия между долями исследуемых населений в отдельных возрастных группах сократились, в среднем, в то же число раз.

К сожалению, показатель, аналогичный мере (10). оказывается, вообще говоря, немонотонным, поскольку соответствующая функция уклонений не является выпуклой как функция двух переменных. Однако следующий показатель, в котором в качестве весовых коэффициентов также используются только потенциалы и(x), на практике оказывается монотонным, хотя теоретически и не принадлежит классу (14):

[формула: (20)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Динамика этой величины оказывается сходной с динамикой показателей (16) и (17).

При практическом использовании приведенных показателей надо иметь в виду следующее. Если расчеты проводятся точно, с использованием точных значений всех коэффициентов, фигурирующих в формулах (14)-(20), то все приведенные выше показатели будут монотонно убывать, если только два населения развиваются с одним и тем же режимом воспроизводства. При этом более удобными являются линейные расстояния (16), (17), (19) и (20), поскольку их динамику легче интерпретировать в терминах сближения относительной численности в отдельных возрастных группах, как это было отмечено выше.

Хотя динамика всех этих показателей в идеальных условиях точных расчетов в общем сходна, они перестают быть эквивалентными, если в целях упрощения расчетов использовать приближенные значения коэффициентов в соответствующих формулах. Так, на практике очень удобно использовать стандартные значения коэффициентов демографического потенциала и ИУ -например, можно использовать значения, приведенные в таблицах 1 и 2. В этом случае из приведенных линейных мер различий возрастной структуры наиболее устойчивой к вариациям коэффициентов оказывается величина (20) - она сохраняет свою монотонность даже в случае, когда реальный режим воспроизводства значительно отличается оттого, что был использован при расчете весовых коэффициентов. Большое значение имеет также близость возрастных структур исследуемых населений. Если их возрастные структуры уже достаточно близки, а режим воспроизводства мало отличается от использованного при расчете весовых коэффициентов, то все приведенные показатели близости возрастных структур вполне могут быть использованы для анализа дальнейшего сближения возрастных структур.

2. 2. Переменный режим воспроизводства населения. Еще в работе Рубинова и Чистяковой указывалось на необходимость разработки показателей инстабильности применительно к случаю переменных характеристик воспроизводства населения [5, с. 52]. Строго говоря, применительно к случаю переменного режима воспроизводства населения нельзя говорить о стабилизации его возрастной структуры, поскольку в этом случае возрастная структура населения постоянно изменяется в зависимости от изменений режима воспроизводства и начальной структуры населения. Соответственно, возрастная структура может и не сходиться во времени ни к одной, наперед заданной, структуре.

Однако известно, что и в этом случае имеет место процесс, аналогичный стабилизации возрастной структуры при постоянном режиме воспроизводства населения. А именно, оказывается, что со временем влияние на возрастную структуру населения его начальной возрастной структуры ослабляется, и по прошествии достаточно длительного времени возрастная структура и ее динамика полностью определяются динамикой показателей воспроизводства населения (так называемое свойство слабой эргодичности). Как следствие этого свойства, возрастные структуры всех населений, развивающихся согласно одному и тому же режиму воспроизводства, со временем сходятся друг с другом, как бы они ни были различны вначале.

В этой связи представляют интерес такие показатели различия возрастных структур реальных населений, которые с течением времени монотонно убывали бы до нуля при одинаковом (хотя, быть может, и переменном) режиме воспроизводства этих населений. Такие показатели особенно важны, поскольку именно переменный режим воспроизводства характерен для всех реальных населении. Отмеченные показатели удалось построить, опираясь на теорию демографического потенциала в случае переменного режима воспроизводства [6, 7]:

[формула: (21-24)

Материал доступен в бумажной версии издания]

Последняя мера близости возрастных структур аналогична симметричному информационному расстоянию [7]. Как видим, несмотря на ограничительные требования к функции уклонений, класс расстояний (21) достаточно богат и, в зависимости от целей исследования, можно подобрать различные меры близости возрастных структур реальных населений. Заметим, что расстояние (22) одинаково чувствительно как к небольшим, так и к большим различиям в численностях отдельных возрастных групп у исследуемых населений, а расстояния (23) - при k больше единицы - и (24) более чувствительны к значительным отклонениям в численностях отдельных возрастных групп.

Главным недостатком показателей близости возрастных структур в условиях переменного режима воспроизводства является необходимость расчета зависящих от времени демографических потенциалов с (t). В связи с этим на практике в случае переменного режима воспроизводства удобнее использовать те же величины, что и при постоянном режиме воспроизводства. Теоретическое обоснование такого подхода состоит в том, что при нем, по сути, точные значения потенциалов с (t) заменяются их приближенными стандартными значениями. При близости режима воспроизводства населения к тому режиму, что был использован при расчете стандартных коэффициентов в приведенных выше показателях, это не нарушает монотонности получаемой меры близости возрастных структур.

2. 3. Приложения. Обратимся к приложениям мер близости возрастных структур двух реальных населений.

По степени близости возрастных структур двух населений можно судить о том, насколько сходной была предыстория их воспроизводства. Так, например, в 2000 г. расстояние между возрастными структурами населения России и США составляло около 0, 2 (при использовании любого из приведенных выше линейных показателей). Эта величина заметно выше значения 0, 05, соответствующего, как уже упоминалось, случайным вариациям чисел рождений. Отсюда следует, что воспроизводство населения России и США в XX веке существенно различалось, и последствия этих различий все еще будут оказывать заметное влияние на воспроизводство населения этих стран в будущем.

Само значение расстояния между возрастными структурами не может указать на то, благодаря чему и в какой период накопились различия. Для того чтобы исследовать это, надо обратиться к динамике расстояния. На рис. 6 и 7 приведена динамика расстояния (20) между возрастной структурой женского и мужского населений России и США. Заметно, что возрастные структуры населения двух стран были существенно различными на протяжении всего XX века, но в середине века эти различия обострились. Видимо, это произошло в связи с мировыми и гражданской войнами и голодом, исказившими структуру населения России, великой депрессией, приведшей к спаду рождаемости в США до войны и компенсаторному ее росту после войны, а также в связи с различным изменением показателей рождаемости и смертности в "спокойные" периоды в обеих странах.

В послевоенный период различия, накопившиеся до этого, в значительной мере ослабли, однако расстояние между возрастными структурами было существенно выше нуля, то есть режим воспроизводства в обеих странах оставался различным. Мужское население России, которое сильнее пострадало в годы второй мировой войны, обладало более искаженной структурой после войны. В результате этого расстояние между возрастными структурами мужского населения двух стран дольше сокращалось до достижения минимального значения к началу 1990-х годов. В 1990-е годы расстояние между возрастными структурами населения двух стран снова резко возросло - очевидно, в связи с резким спадом рождаемости в России и, соответственно, с еще большим различием режимов воспроизводства в России и США. Согласно прогнозу Бюро Цензов США, различия в возрастной структуре, накопленные в кризисный для России период, со временем также спадут, однако различия в режимах воспроизводства населения двух стран не исчезнут и к середине XXI века.

Другая задача, которую можно решить с привлечением расстояний между возрастными структурами, - группирование нескольких населений по степени близости их режимов воспроизводства. Разумеется, эта задача может быть решена непосредственно, если имеются подробные данные о показателях воспроизводства всех исследуемых населений. Однако зачастую такой возможности нет, и приходится опираться в исследованиях только на данные о половозрастной структуре. В этом случае полезно пользоваться показателями близости возрастных структур двух реальных населений. Продуктивность такого подхода может быть проиллюстрирована на примере анализа расово-этнических особенностей воспроизводства населения США [7].

В таблицах 3 и 4 приведены результаты расчета расстояний (16) между возрастными структурами различных расово-этнических групп в 1980 и 2000 гг. и приняты следующие условные обозначения: "WhNonHis" -белое население неиспанского происхождения, "BINonHis - "черное население неиспанского происхождения, "ArnNonHis - "американские индейцы, эскимосы и алеуты неиспанского происхождения, "AsNonHis - "население азиатского и тихоокеанского неиспанского происхождения. "Wh Hisp - "белое население испанского происхождения, "В1 Hisp - "черное население испанского происхождения, "Am Hisp - "американские индейцы, эскимосы и алеуты испанского происхождения, "As Hisp" -население азиатского и тихоокеанского испанского происхождения. В расчетах использовались стандартные возрастные коэффициенты репродуктивного потенциала, рассчитанные согласно режиму воспроизводства, близкому к реальному для населения США в исследуемый период (см. таблицы 1 и 2).

Анализ расстояний между возрастными структурами и динамики этих расстояний указывает на то, что расово-этнические группы населения США можно объединить в четыре группы со сходными режимами воспроизводства в пределах каждой из групп:

-Белое и черное население неиспанского происхождения

-Все американские индейцы, эскимосы и алеуты

-Все население испанского происхождения, кроме американских индейцев, эскимосов и алеутов

-Население азиатского и тихоокеанского неиспанского происхождения.

Можно также предложить несколько более грубое разбиение на три группы:

-Белое и черное население неиспанского происхождения, все американские индейцы, эскимосы и алеуты

-Все население испанского происхождения, кроме американских индейцев, эскимосов и алеутов

-Население азиатского и тихоокеанского неиспанского происхождения.

Помимо самостоятельного интереса, подобное группирование населения позволяет разработать модели воспроизводства, учитывающие, с одной стороны, неоднородность населения, с другой - близость режимов воспроизводства. Для этого следует проводить расчеты по отдельности для каждой из выделенных выше трех-четырех крупных групп, что повысит точность моделирования расово-этнической структуры населения, но при этом избавит от необходимости проводить отдельные расчеты для каждой расово-этнической группы.

Другая область приложений показателей близости возрастных структур в практике демографических расчетов - косвенное оценивание, когда неизвестные показатели исследуемого населения оцениваются методом аналогии с другим населением, близость режима воспроизводства которого устанавливается с помощью исследования возрастных структур исследуемого и модельного населений. Этот подход был успешно использован при оценивании показателей воспроизводства некоторых депортированных народов СССР [8]. Например, анализ динамики расстояний между возрастной структурой балкарцев и других депортированных народов Юга России показал их близость к карачаевцам. Динамика расстояний приведена на рис. 8 и 9.

Отчетливо видно, что хотя в течение XX века происходило сближение возрастной структуры балкарцев со структурой всех остальных исследованных народов -сближение со структурой карачаевского населения было наиболее интенсивным и практически завершилось полностью, если учесть, что расстояния порядка 0, 05 соответствуют различиям в возрастной структуре вследствие случайных изменений чисел рождений. Отсюда можно заключить, что режим воспроизводства балкарцев в исследуемый период был наиболее близок к режиму воспроизводства карачаевцев. Это послужило основой для использования метода аналогии - при отсутствии необходимых данных для расчетов по балкарскому населению использовались показатели воспроизводства карачаевцев.

Заключение

Приведенными примерами области возможного применения предложенных показателей не исчерпываются, Среди других областей приложения можно отметить такие, как анализ протекания демографического перехода, разработка показателей инстабильности на основе расстояния между возрастной структурой исследуемого населения и его же структурой в предшествующий период, разработка систем автоматического картографирования по типу воспроизводства на основе переписной информации, разработка методов проверки согласованности данных переписи с данными текущего учета движения населения и др.

В заключение сделаем два замечания относительно необходимости специального учета в практических расчетах "двуполости" населения и миграции.

Легко заметить, что все приведенные в работе показатели рассчитаны на однополое население, а в примерах практических приложений анализ проводился раздельно по мужскому и женскому населениям.

Представляется, что такой подход оправдан, и не только потому, что проблема разработки двуполых моделей воспроизводства населения все еще не получила удовлетворительного решения. Существенно и то, что механизм стабилизации соотношения численностей полов чрезвычайно прост и не обладает эффектом последействия, характерным для динамики возрастной структуры населения. Действительно, соотношение полов при рождении практически постоянно, и через одно поколение пропорции численности всякого населения по полу нормализуются. как бы серьезно они ни были нарушены вначале.

Что же касается миграции, то возможен специальный учет се влияния на показатели близости возрастных структур, но на практике можно обойтись и без этого. Так, даже для населения США, в воспроизводстве которого роль миграции весьма велика, оценки возможного искажения показателей близости возрастных структур из-за пренебрежения миграцией оказываются небольшими (порядка 0, 005) по сравнению с реальными значениями этих показателей (0. 05 и более) [7].

Библиографические ссылки

1 Пирожков С. И. Анализ возрастной структуры населения и закономерности ее формирования. Дис... канд. экон. наук. Киев: КИНХ 1973.

2. Пирожков С. И. Демографические процессы и возрастная структура населения. М. : Статистика, 1976. -136 с.

3. Tuljapurkar Sh. Why use population entropy? It determines the rate of convergence // Journal of Mathematical Biology, vol. 13 (1982): 325-337.

4. Schoen R. , Kim Y. J. Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics // Demography, vol. 28 (1991): 455-466.

5. Рубинов А. М. , Чистякова Н. Е. Возрастная структура и потенциал роста населения / Демографические процессы и их закономерности // Под. ред. А. Г. Волкова. М. : Мысль, 1986. С. 38-52.

6. Эдиев Д. М. Концепция демографического потенциала и ее приложения / Математическое моделирование. Т. 15 (2003). N 12. С. 37-74.

7. Ediev D. M. On monotonic convergence to stability / / Demographic Research. 2003. Vol. 8, Article 2. P. 31-60. http: // //www. demographic-research. org/volumes/vol8/2/8-2. pdf

8. Эдиев Д. М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь: Изд-во СтГАУ "АГРУС"; Ставропольсервисшкола, 2003. - 336 с.

9. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation. N. Y. : UnitedNations, 1983.

10. Эдиев Д. М. Об условиях нерасширяемости класса монотонных мер сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного Населения/Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Нальчик-Эльбрус, 2004. С 311 -316.

11. Эдиев Д. М. О нерасширяемости одного класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения / Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. В печати.

12. Демографический ежегодник России. М. : Госкомстат России, 2001.

13. Население России за 100 лет (1897-1997). М. : Госкомстат России, 1998.

14. U. S. Bureau of the Census [USA]. International Data Base (IDB). http: //www. census. gov/ipc/www/idbnew. html Data updated 5-10-2000

15. Андреев Е. М. , Дарский Л. E. , Харькова Т. Л. Демографическая история России: 1927-1959. М. : Информатика, 1998. 16. Ediev D. M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 / Demographic Research. 2001. Vol. 4, Article 9. P. 289-336. http: //www. demographic-research. org/volumes/vol4/9/4-9. pdf